문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 치올코프스키 로켓 방정식 (문단 편집) === 중력장이 있을 때 === || [[파일:namu_로켓방정식_개선_3.png|width=340&align=center]] || 이번에는 중력장 내에서의 로켓 방정식을 유도해보자. 위 결과에서 [math({\rm d}t)] 동안 계의 운동량 변화는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( mv-[(m+{\rm d}m)(v+{\rm d}v)-v'\,{\rm d}m] )] }}} 운동량과 [[충격량]] 사이의 관계에 의하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( [(m+{\rm d}m)(v+{\rm d}v)-v'\,{\rm d}m]-mv=-mg\,{\rm d}t )] }}} 마찬가지로 연료의 로켓에 대한 상대적인 분출 속도 [math(-u \equiv v'-(v+{\rm d}v))]를 도입하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\begin{aligned} [(m+{\rm d}m)(v+{\rm d}v)+[u-(v+{\rm d}v) ]\,{\rm d}m]-mv&=-mg\,{\rm d}t \end{aligned})] }}} 위 식을 정리하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\begin{aligned} m\,{\rm d}v + u\, {\rm d}m&=-mg \,{\rm d}t \end{aligned})] }}} 이때, 양변을 [math({\rm d}t)]로 나누면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\begin{aligned} \dot{v} + \frac{u}{m} \dot{m}&=-g\end{aligned})] }}} 문제를 간단히 하기 위해 연료의 질량 감소율은 일정하다고 하면 [math(\dot{m}\equiv -\alpha)]이다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\begin{aligned} {\rm d}v= \left(-g+\frac{\alpha}{m}u \right)\,{\rm d}t \end{aligned})] }}} 이 방정식을 그대로 풀기에는 [math(m)]에 대한 정보가 없기에 [math({\rm d}m=-\alpha\, {\rm d}t)]임을 이용해서 시간을 소거하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\begin{aligned} {\rm d}v= \left(\frac{g}{\alpha}-\frac{u}{m} \right)\,{\rm d}m \end{aligned})] }}} 양변을 적분하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\begin{aligned} \int_{0}^{v}{\rm d}v'= \int_{m_{0}}^{m} \left(\frac{g}{\alpha}-\frac{u}{m'} \right)\,{\rm d}m' \end{aligned})] }}} 이고, 이 결과는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\begin{aligned} v=-\frac{g}{\alpha}(m_{0}-m)+u \ln{\biggl(\frac{m_{0}}{m} \biggr)} \end{aligned})] }}} 한편, 시간 [math(t)]까지의 연료의 질량 감소량은 [math(-\alpha t)]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\begin{aligned} m-m_{0}=\alpha t \end{aligned})] }}} 이상에서 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\begin{aligned} v&=-gt+u \ln{\biggl(\frac{m_{0}}{m} \biggr)} \\&=-gt-u \ln{\biggl(\frac{\alpha t}{m_{0}}+1 \biggr)} \end{aligned})] }}} [[분류:물리학]][[분류:방정식]][[분류:로켓]]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기